Bibliographic Metadata

Title
Well-posedness and long-time behavior of solutions for the Blackstock-Crighton equation / Rainer Brunnhuber
AuthorBrunnhuber, Rainer
CensorKaltenbacher, Barbara ; Wilke, Mathias
PublishedKlagenfurt, September 2015
Description93 Seiten
Institutional NoteAlpen Adria Universität Klagenfurt, Dissertation, 2015
Annotation
Zusammenfassung in deutscher Sprache
LanguageEnglish
Bibl. ReferenceOeBB
Document typeDissertation (PhD)
Keywords (DE)Blackstock-Crighton Gleichung / globale Wohlgestelltheit / Langzeitverhalten von Lösungen / optimale Regularität / nichtlineare Akustik
Keywords (EN)Blackstock-Crighton equation / global well-posedness / long-time behavior of solutions / optimal regularity / nonlinear acoustics
Keywords (GND)Partielle Differentialgleichung
URNurn:nbn:at:at-ubk:1-19963 Persistent Identifier (URN)
Restriction-Information
 The work is publicly available
Files
Well-posedness and long-time behavior of solutions for the Blackstock-Crighton equation [0.63 mb]
Links
Reference
Classification
Abstract (German)

Die vorliegende Arbeit dient der mathematischen Untersuchung der Blackstock-Crighton Gleichung, welche ein Modell zur Beschreibung der Ausbreitung nichtlinearer akustischer Wellen in monoatomischen Gasen ist. Es handelt sich dabei um eine nichtlineare partielle Differentialgleichung vierter Ordnung. Wir betrachten die Blackstock-Crighton Gleichung mit gegebenen Anfangs- und Randdaten, wobei wir homogene und inhomogene Dirichlet- als auch inhomogene Neumann-Randbedingungen zulassen werden. FÃr jedes dieser Anfangsrandwertprobleme werden wir Wohlgestelltheit - also die Existenz einer eindeutigen LÃsung sowie deren stetige AbhÃ$ngigkeit von den Anfangs- und Randdaten - zeigen sowie das Langzeitverhalten von LÃsungen untersuchen. Allgemein bilden Resultate betreffend die Wohlgestelltheit eines Problems eine wichtige Grundlage fÃr fundierte und verlÃ$ssliche numerische Simulationen. FÃr die Analysis einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ist es zunÃ$chst wichtig das zugehÃrige linearisierte Problem zu verstehen. Zu diesem Zweck werden in dieser Arbeit einerseits Operatorhalbgruppen und EnergieabschÃ$tzungen verwendet. Andererseits kommt die Methode der maximalen Lp-RegularitÃ$t zum Einsatz, mit Hilfe derer wir optimale RegularitÃ$t fÃr die linearisierten, inhomogenen Dirichlet- und Neumannprobleme erhalten. Mit optimaler RegularitÃ$t ist gemeint, dass die RegularitÃ$t der Anfangs- und Randdaten nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig fÃr die RegularitÃ$t der eindeutigen LÃsung ist. Basierend auf den Resultaten fÃr das zugehÃrige lineare Problem wird das ursprÃngliche nichtlineare Problem fÃr die Blackstock-Crighton Gleichung behandelt. Dies geschieht einerseits unter Verwendung des Banach'schen Fixpunktsatzes oder - fÃr den Fall, dass optimale RegularitÃ$t fÃr das linearisierte Problem vorliegt - mit Hilfe des Satzes Ãber implizite Funktionen. Wir erhalten globale Wohlgestelltheit fÃr das Dirichlet-Randwertproblem. Selbiges gilt fÃr Neumann-Randbedingungen, allerdings nur wenn die Daten mittelwertfrei sind. Anderenfalls zeigen wir hier nur lokale Wohlgestelltheit. Aus den Resultaten Ãber globale Wohlgestelltheit folgern wir, dass die LÃsung des Problems exponentiell gegen Null abklingt, wenn die Zeit gegen unendlich strebt.

Abstract (English)

The present work provides a mathematical analysis of the Blackstock-Crighton equation which is a model governing the propagation of nonlinear acoustic waves in monatomic gases. It is a nonlinear partial differential equation of fourth order. We consider the Blackstock-Crighton equation together with given initial and boundary data, where we admit homogeneous and inhomogeneous Dirichlet as well as inhomogeneous Neumann boundary conditions. For all of these initial boundary value problems we will show well-posedness, that is, existence of a unique solution and its continuous dependence on the initial and boundary data, and investigate the long-time behavior of solutions. In general, results on well-posedness of a problem are an important basis for scientifically sound and reliable numerical simulations. For the analysis of a nonlinear partial differential equation it is first of all important to understand the corresponding linearized problem. For this purpose, in the present work we will on one hand use operator semigroups and energy estimates. On the other hand, we will employ the method of maximal Lp-regularity which allows us to prove optimal regularity for the inhomogeneous Dirichlet and Neumann problems. Optimal regularity means that the regularity of the initial and boundary data is not only sufficient, but also necessary for the regularity of the unique solution. Based on the results of the associated linear problem the original nonlinear problem for the Blackstock-Crighton equation is treated. This is on one hand done using Banach's Fixed-Point Theorem or - in case the linearized problem admits optimal regularity - by means of the Implicit Function Theorem. We obtain global well-posedness for the Dirichlet boundary value problem. The same holds for Neumann boundary conditions as long as the data have zero mean. Otherwise we only show local well-posedness in the Neumann case. From the results on global well-posedness we deduce that the solution of the problem decays exponentially to zero as time tends to infinity.

Stats
The PDF-Document has been downloaded 13 times.